Le produit scalaire en première

Le produit scalaire est défini à partir de la projection orthogonale. Les situations permettent d’introduire le produit scalaire à partir de l’intuition des élèves pour les amener vers de nouveaux savoirs et compétences, Ces premières activités offrent en référence au programme des temps de recherche, d’activité et de manipulation, prolongés par des temps de dialogue, d’échanges et de verbalisation.

RÉFÉRENCES AU PROGRAMME

L’étude de la géométrie plane menée au collège et en seconde a familiarisé les élèves à la géométrie de configuration, au calcul vectoriel et à la géométrie repérée.
En première on poursuit l’étude de la géométrie plane en introduisant de nouveaux outils. L’enseignement est organisé autour des objectifs suivants :

  • donner de nouveaux outils efficaces en vue de la résolution de problèmes géométriques, du point de vue métrique.
  • enrichir la géométrie repérée de manière à pouvoir traiter des problèmes faisant intervenir l’orthogonalité.

CONNAISSANCES

Les élèves ont étudié les vecteurs (avec ou sans coordonnées) en seconde. Ils ont résolu des problèmes de configuration plane à l’aide du calcul vectoriel, essentiellement liées au parallélisme

Une image mentale

Le produit scalaire est défini à partir de la projection orthogonale. Les situations permettent d’introduire le produit scalaire à partir de l’intuition des élèves pour les amener vers de nouveaux savoirs et compétences, Ces premières activités offrent en référence au programme des temps de recherche, d’activité et de manipulation, prolongés par des temps de dialogue, d’échanges et de verbalisation.

OBJECTIFS :
  • Permettre à l’élève de percevoir la composante des forces exerçant un travail sur un déplacement (projection orthogonale) : mettre en place une image mentale forte
  • Déterminer deux expressions pour le produit scalaire

Etape 1

Scénario pédagogique

Cette activité se prête à un travail en commun en classe entière. Pour ce premier travail, il est essentiel de permettre un temps d’appropriation individuel et de partir de l’intuition de chaque élève. La restitution permet une verbalisation par un questionnement plus fin : quelles forces favorisent le plus le mouvement ? Le moins le mouvement ? Est-ce que l’on pourrait justifier cette réponse numériquement ? F_6 a une plus grande intensité que F_2, a-t-elle plus d’effet sur le mouvement ?
L’idée est de faire émerger la projection orthogonale sur l’axe du déplacement, pour justifier la décomposition de la deuxième partie de l’activité.

Etape 2


Etape 3

Appropriation des propriétés

CONTENUS :

Caractérisation de l’orthogonalité
Bilinéarité, symétrie.
En base orthonormée, expression du produit scalaire et de la norme, critère d’orthogonalité

CAPACITES ATTENDUES :

Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer un angle, une longueur dans le plan ou dans l’espace.

OBJECTIFS :

• Etablir les propriétés du produit scalaire.
* Etablir l’expression du produit scalaire à partir des coordonnées de vecteurs
* Etablir le critère d’orthogonalité.

PLACE DE L’ORAL

« Les étapes de verbalisation et de reformulation jouent un rôle majeur dans l’appropriation des notions mathématiques et la résolution de problèmes. […] Des situations variées se prêtent à la pratique de l’oral en mathématiques :[… ] les mises en commun après un temps de recherche.

Scénario pédagogique

A travers un parcours différencié, les différentes propriétés du produit scalaire sont établies. En proposant un travail de groupes, la construction du cours peut être mise en place par la restitution des travaux de recherche : chaque équipe propose et explique oralement ses résultats. Cela facilite la différenciation du travail et prépare au grand oral. Les groupes doivent être composés par l’enseignant selon les appétences de chacun et selon le projet de formation de chacun.
Dans chaque cas, il s’agit de s’appuyer sur la définition du produit scalaire à l’aide du projeté orthogonal.




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